\(a+\frac{1}{a}\ge2\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\) đúng với mọi \(a\)>\(0\)
Cho a, b ≥ 0. CMR: \(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
Cho a>0, b>0 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\)
CMR: \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\)
cho a, b, c >0 tm \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=6\)
CMR \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\ge3\)
Với a,b,c>0.Cmr
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}\)
Cho biểu thức
a) Rút gọn P
b) CMR : nếu 0 < x < 1 thì P > 0
c) Tìm GTLN của P
\(P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right)\left(\frac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2\)
1 Rút gọn:
a) A=\(\frac{\sqrt[]{2+\sqrt[]{3}}}{4}+\sqrt[]{\frac{2-\sqrt[]{3}}{16}}+\frac{1}{\sqrt[]{3}+\sqrt[]{2}+1}\)
b)\(\left(\sqrt[]{a+\sqrt[]{a^2-8}}\right).\left(\sqrt[]{a-2\sqrt[]{2}}-\sqrt[]{a+2\sqrt[]{2}}\right),a>=2\sqrt[]{2}\)
2.Cho x= \(\sqrt[]{2-\sqrt[]{3}}.\left(\sqrt[]{6}+\sqrt[]{2}\right)-\frac{2\sqrt[]{6}+\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{8}+1}\). Tính A= \(x^5-3x^4-3x^3+6x^2-20x+2022\)
3. Cho a,b,c >0, \(\frac{a}{a+b}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\). CMR: \(\frac{\left(a+b\right)^3}{c^3}+\frac{\left(b+c\right)^3}{a^3}+\frac{\left(a+c\right)^3}{b^3}+24\)
Bài 1: Cho a = \(\sqrt{3+\sqrt{5+2\sqrt{3}}}+\sqrt{3-\sqrt{5+2\sqrt{3}}}\)
CMR a2 -2a-2=0
Bài 2 Cho B = \(\frac{1+\sqrt{x+1}}{x+1}+\frac{1+\sqrt{1-x}}{x-1}\)
Tính B sau khi thay x = a = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Bài 3: hãy biểu diễn \(\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\) thành a+b\(\sqrt{5}\) với a và b thuộc Q
1. Cho hai số a,b không âm : CMR \(\frac{a+b}{2}\) ≥ \(\sqrt{ab}\)
2. Với a ≥0, b≥0: CM \(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\) ≥\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
3. Tìm số nguyên tố thõa mãn đẳng thức sau:
\(\sqrt[3]{n+\sqrt{n^2+8}}+\sqrt{n-\sqrt{n^2}+8}=8\)
4. Tìm các số thực x,y,z thõa mãn :
\(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
CMR \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}\right|\)
Áp dụng tính : \(M=\sqrt{1+999^2+\frac{999^2}{1000^2}}+\frac{999}{1000}\)
