Phương Anh

1)\(\int_1^e\left(\frac{lnx}{x}\right)^2dx\)

2)\(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{1+cos2x}dx\)

3)\(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{ln\left(cosx\right)}{cos^2x}dx\)

Akai Haruma
8 tháng 2 2017 lúc 0:08

Câu 1)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln ^2x\\ dv=\frac{1}{x^2}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{2\ln x}{x}\\ v=\frac{-1}{x}\end{matrix}\right.\)

\(\int \left ( \frac{\ln}{x} \right )^2dx=\frac{-\ln^2x}{x}+2\int \frac{\ln x}{x^2}dx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} t=\ln x\\ dk=\frac{1}{x^2}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} dt=\frac{1}{x}dx\\ k=-\frac{1}{x}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int \frac{\ln x}{x^2}dx=-\frac{\ln x}{x}+\int \frac{1}{x^2}dx=\frac{-\ln x}{x}-\frac{1}{x}\)

\(\Rightarrow I=\left.\begin{matrix} e\\ 1\end{matrix}\right|\left(\frac{-\ln^2 x}{x}-\frac{2\ln x}{x}-\frac{2}{x}\right)=2-\frac{5}{e}\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
8 tháng 2 2017 lúc 0:38

Câu 2)

\(I=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{x}{1+\cos 2x}dx=\frac{1}{2}\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{x}{\cos^2x}dx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x\\ dv=\frac{dx}{\cos^2x}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\tan x\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|\frac{x\tan x}{2}-\frac{1}{2}\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} \tan xdx\)

\(=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\cos x)}{\cos x}=\frac{\pi}{8}+\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|\frac{\ln |\cos x|}{2}=\frac{\pi}{8}+\frac{\ln\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
8 tháng 2 2017 lúc 0:57

Câu 3)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln (\cos x)\\ dv=\frac{dx}{\cos^2x}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{-\sin x}{\cos x}dx=-\tan xdx\\ v=\tan x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|\tan x\ln (\cos x)+\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\tan^2xdx=\ln \frac{\sqrt{2}}{2}+\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}(\frac{1}{\cos^2x}-1)dx\)

\(=\ln\frac{\sqrt{2}}{2}+\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|(\tan x-x)=\ln \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\pi}{4}+1\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Thiên An
Xem chi tiết
Minh Thu
Xem chi tiết
Nguyễn Hòa Bình
Xem chi tiết
Bắc Băng Dương
Xem chi tiết
Tuấn Vũ
Xem chi tiết
Hoa Thiên Lý
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Huyền
Xem chi tiết
Slice Peace
Xem chi tiết