Violympic toán 9

khánh khang zen

Cho tam giác ABC có AD là phân giác. chứng minh \(cos\frac{A}{2}\ge\frac{2\cdot AD}{AB+AC}\)

Nguyễn Việt Lâm
6 tháng 10 2019 lúc 7:19

Dựng tam giác

bất kì, không mất tính tổng quát, giả sử \(AC\ge AB\Rightarrow\frac{AC}{AB}\ge1\)

A B C D M N

Lần lượt kẻ BM và CN vuông góc AD

\(cos\frac{A}{2}=\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{AM+AN}{AB+AC}=\frac{AD-DM+AD+DN}{AB+AC}=\frac{2AD}{AB+AC}+\frac{DN-DM}{AB+AC}\)

Ta chỉ cần chứng minh \(DN-DM\ge0\) là xong

Theo định lý Talet: \(\frac{DN}{DM}=\frac{CD}{BD}\), mà \(\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}\ge1\) (t/c phân giác)

\(\Rightarrow\frac{DN}{DM}\ge1\Rightarrow DN-DM\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(AB=AC\) hay tam giác ABC cân tại A

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Hoàng Việt Hà
Xem chi tiết
nguyễn xuân tùng
Xem chi tiết
Trang Triệu
Xem chi tiết
Lunox Butterfly Seraphim
Xem chi tiết
Xem chi tiết
admin tvv
Xem chi tiết
Mai Vân Anh
Xem chi tiết
Luân Đào
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết