\(ab+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge ab+\frac{2}{ab}=ab+\frac{1}{16ab}+\frac{31}{16ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{16ab}}+\frac{31}{\frac{16\left(a+b\right)^2}{4}}\ge\frac{1}{2}+\frac{31}{4}=\frac{33}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
\(ab+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge ab+\frac{2}{ab}=ab+\frac{1}{16ab}+\frac{31}{16ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{16ab}}+\frac{31}{\frac{16\left(a+b\right)^2}{4}}\ge\frac{1}{2}+\frac{31}{4}=\frac{33}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
cho a,b>0 cm\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\) nếu \(ab\ge1\)
b) cho a,b,c\(\ge\)1. CMR \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+c^4}\ge\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)
\(\text{Cho }a,b,c>0\text{ thỏa mãn }a+b+c=3\)
\(\text{CMR: }\frac{1+b}{1+4a^2}+\frac{1+c}{1+4b^2}+\frac{1+a}{1+4c^2}\ge\frac{6}{5}\)
Ôn tập Bất đẳng thức
1 , Cho a,b,c<3 thỏa mãn abc(a+b+c)=3 . Tìm GTNN của C= \(\frac{a}{\sqrt{9-b^2}}+\frac{b}{\sqrt{9-c^2}}+\frac{c}{\sqrt{9-a^2}}\)
2, Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Chứng minh a, \(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le1\)
b, \(\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\ge a+b+c\)
3, Cho a,b,c >0 và \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1\)
Tính GTLN của P= \(\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\)
4 , Cho a,b,c>0 và \(ab+bc+ca\ge a+b+c\)
Chứng minh \(\frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^3+8}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^3+8}}\ge1\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng
\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\sqrt{3}\)
Cho biểu thức
\(P=\frac{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2}{\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}\)(với a>0,b>0 và a khác b
1, CM \(P=\frac{1}{ab}\)
2, Giả sử a,b thay đổi sao cho \(4a+b+\sqrt{ab}=1\). Tìm GTNN của P
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 2
CM: \(\sqrt[3]{\frac{1}{a}}+\sqrt[3]{\frac{1}{b}}+\sqrt[3]{\frac{1}{c}}\ge\frac{3\sqrt[3]{12}}{2}\)
Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2+ab}\ge8\)
Cho a,b,c >0. Thỏa mãn abc=1. CM
\(\frac{1}{a^3\left(b+C\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)
1/Cho a,b,c≥0 và \(a^2+b^2+c^2\le abc\). Tìm GTLN của
M=\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ba}\)
2/Cho a,b,c>0 thỏa mãn 13a+5b+12c=9. Tìm GTLN của
N=\(\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\)
3/Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của
P=\(\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\)
4/Cho các số thực a,b,c thỏa mãn ab+7bc+ca=188.
Tìm GTNN của P=\(5a^2+11b^2+5c^2\)
Ai giải được câu nào giải hộ mình vs ạ!!!