Question

Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai dây cung AB và CD, các tia BA và DC cắt nhau tại M nằm ngoài (O)

a) Biết AB=CD chứng minh MA=MC

b) Nếu AB>CD, hãy so sánh khoảng cách từ điểm M đến trung điểm của các dây AB, CD

Answer 1

Câu a) Hình:

Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD.

=> OH ⊥ AB và OK ⊥ CD ( quan hệ vuông góc giũa đường kính và dây)

Ta có: dây AB = CD (gt)

=> OH = OK ( khoảng cách từ tâm đến dây)

Xét Δ OHM và Δ OKM có:

\(\widehat{OHM}=\widehat{OKM}=90^0\)

OM: chung

OH = OK (cmt)

=> Δ OHM = Δ OKM ( cạnh huyền- cạnh góc vuông)

=> MH = MK (1)

Ta có: HB = HC = \(\frac{1}{2}AB\)

KD = KC = \(\frac{1}{2}CD\)

mà AB = CD (gt)

=> HB = KD (2)

Từ (1) và (2) cộng vế với vế ta được:

MH + HB = MK + KD

⇔ MB + MD ( đpcm)

b) Hình: tự vẽ

Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD

=> OH ⊥ AB và OK ⊥ CD ( quan hệ vuông góc giũa đường kính và dây)

Ta có: dây AB > CD => OH < OK ( khoảng cách từ tâm đến dây)

OH < OK

⇔ OH² < OK² ( Chú ý: trong hình học các đoạn thẳng luôn luôn dương nghĩa là độ dài các đoạn thẳng sẽ lớn hơn hoặc bằng 0)

⇔ OH² + OM² < OK² + OM²

Áp dụng dịnh lý Py - Ta - go cho các tam giác vuông OHM vuông tại H, OKM vuông tại K

ta có: MH ² = OH² + OM²

MK² = OK² + OM²

mà OH² + OM² < OK² + OM² (cmt)

=> MH² < MK ²

⇔ MH < MK

*Chúc bạn học tốt*