Question

Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Biết độ dài \(BN=2\sin a\), \(CM=2\cos a\) với \(0^0< a< 90^0\), Tính độ dài đoạn thẳng MN

Answer 1

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2+\left(2AN\right)^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2+AN^2+3AN^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BN^2+3AN^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow4sin^2a+3AN^2=BC^2\) (1)

Tương tự ta có: \(4cos^2a+3AM^2=BC^2\) (2)

Cộng (1) với (2) và lưu ý \(BC=2MN\) (đường trung bình)

\(\Rightarrow4\left(sin^2a+cos^2a\right)+3\left(AN^2+AM^2\right)=BC^2=\left(2MN\right)^2\)

\(\Rightarrow4+3MN^2=4MN^2\)

\(\Rightarrow MN^2=4\Rightarrow MN=2\)