Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Nguyen

Cho a,b,c>0 . CMR:

\(\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\ge\sqrt{6.\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}}\)

Help me câu này Trần Thanh Phươngtth

tthnew
8 tháng 9 2019 lúc 10:25

Bài này trông quen quen. em xí một vé trước nhá:) khi nào đi công việc về suy nghĩ rồi sẽ làm:) Em ko hứa là làm được nhưng hứa sẽ suy nghĩ cùng a:D

Bình luận (0)
Trần Quỳnh Mai
8 tháng 9 2019 lúc 17:36

\(\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\ge\sqrt{\frac{6\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{abc}}}\)

____________________

Điều cần chứng minh tương đương với

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+2\left(\sum_{cyc}\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{ca}}\right)\ge\frac{6\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{abc}}\)

Theo BĐT AM-GM ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1\ge3\frac{a}{\sqrt[3]{abc}}\)

Tương tự rồi cộng theo vế ta có \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+3\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{abc}}\)

\(\rightarrow\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{abc}}\)

Vậy còn cần chứng minh \(\sum_{cyc}\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{ca}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{abc}}\)

\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}\sqrt{a\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)\sqrt{abc}}{\sqrt[3]{abc}}\)

\(\text{L.H.S}=\sum_{cyc}\sqrt{a\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\sum_{cyc}\sqrt{a^2(a+b+c)+abc}\)

\(=\sqrt{\sum_{cyc}\left(a^2(a+b+c)+abc+2\sqrt{(a^2(a+b+c)+abc)(b^2(a+b+c)+abc)}\right)}\)

\(\ge\sqrt{\sum_{cyc}\left(a^2(a+b+c)+abc+2(ab(a+b+c)+abc)\right)}\)

\(=\sqrt{\sum_{cyc}(a^3+3a^2b+3a^2c+5abc)}\)

Đặt \(\left(a+b+c,ab+bc+ca,abc\right)\rightarrow\left(3u,3v^2,w^3\right)\) Khi đó còn phải cm

\(27u^3+9w^3\ge36u^2w\rightarrow f'\left(w^3\right)=9-\frac{12u^2}{\left(w^3\right)^{\frac{2}{3}}}\le0\) . Từ đó ta khẳng định được f là hàm lõm -> f nhận 1 GTLN của \(w^3\)

BĐT cần chứng minh thuần nhất từ đó ta có thể giả sử \(b=c=1\)

Đặt \(a=t^3\) và sau khi phân tích ta có:

\((t-1)^2(t+2)(t^6-t^4+4t^3-3t^2-2t+4)\ge0.\)\(\square\)

Bình luận (13)
tthnew
2 tháng 2 2020 lúc 13:34

Em vừa "chôm" được giải bên AoPS nè, thật đơn giản với AM-GM.

\(\left(\sum_{cyc}\sqrt{\frac{a+b}{c}}\right)^2=\sum_{cyc}\frac{a+b}{c}+2\sum_{cyc}\sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{bc}}\)

\({\geq\sum_{cyc}\frac{a+b}{c}+2\sum_{cyc}\frac{a+\sqrt{bc}}{\sqrt{bc}}}\). Do đó, chỉ cần chứng minh:

\({\sum_{cyc}\frac{a+b}{c}+2\sum_{cyc}\frac{a+\sqrt{bc}}{\sqrt{bc}}}\geq\frac{6(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}\)

\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{2a}{\sqrt{bc}}+2-6\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}\right)\geq0\) (hiển nhiên đúng theo AM-GM)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
dbrby
Xem chi tiết
lữ thị xuân nguyệt
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
Easylove
Xem chi tiết
lữ thị xuân nguyệt
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Tùng
Xem chi tiết
dam thu a
Xem chi tiết
dam thu a
Xem chi tiết