Chương III - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Trần Thanh Phương

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỌN LỌC

Bài 1: Giải phương trình ẩn x sau :

a) \(\sqrt{\frac{1}{x+3}}+\sqrt{\frac{5}{x+4}}=4\)

b) \(\sqrt[8]{1-x}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[8]{1-x^2}=3\)

Bài 2: Giải hệ phương trình :

a) \(\left\{{}\begin{matrix}x^4-x^3+3x^2-4y-1=0\\\sqrt{\frac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\frac{x^2+2xy+4y^2}{3}}=x+2y\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{y}{2x+1}=\frac{\sqrt{2x+1}+1}{\sqrt{y}+1}\\4x^2+5=y^2\end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy+y^2=3\\z^2+yz+1=0\end{matrix}\right.\)

P/s: ai có lời giải đúng, đẹp tặng 1GP mỗi phần.

Nguyễn Thành Trương
7 tháng 9 2019 lúc 6:00

Bài 2:

a)Ta có: \({\left( {x + 2y} \right)^2} \le \left( {1 + 1} \right)\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right) \Rightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)}}{2} \ge \sqrt {\dfrac{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{4}} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)}}{2} \ge \dfrac{{\left| {x + 2y} \right|}}{2} \)Mặt khác ta cũng có:

\( \dfrac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3} = \dfrac{{3{{\left( {x + 2y} \right)}^2} + {{\left( {x - 2y} \right)}^2}}}{{12}} \ge \dfrac{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{4}\\ \Rightarrow \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3}} \ge \dfrac{{\left| {x + 2y} \right|}}{2} \)

Từ đó suy ra: \(\sqrt {\dfrac{{{x^2} + 4{y^2}}}{2}} + \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3}} \ge \left| {x + 2y} \right| \ge x + 2y \)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=2y\ge0\)

Thay vào phương trình còn lại ta thu được:

\({x^4} - {x^3} + 3{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} + 3x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2} \)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {1;\dfrac{1}{2}} \right) \)

\(\boxed{Nguyễn Thành Trương}\)

Bình luận (5)
tthnew
7 tháng 9 2019 lúc 8:31

Bài 1: a liên hợp là ra mà nhỉ?

a) ĐK: \(x>-3\)

Mặt khác \(PT\Leftrightarrow\sqrt{\frac{1}{x+3}}-2+\sqrt{\frac{5}{x+4}}-2=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\frac{1}{x+3}-4}{\sqrt{\frac{1}{x+3}}+2}+\frac{\frac{5}{x+4}-4}{\sqrt{\frac{5}{x+4}}+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(x+\frac{11}{4}\right)}{\left(x+3\right)\left(\sqrt{\frac{1}{x+3}}+2\right)}+\frac{-\left(x+\frac{11}{4}\right)}{\left(x+4\right)\left(\sqrt{\frac{5}{x+4}}+2\right)}=0\) (quy đồng cái tử lên thôi)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{11}{4}\right)\left[\frac{-1}{\left(x+3\right)\left(\sqrt{\frac{1}{x+3}}+2\right)}+\frac{-1}{\left(x+4\right)\left(\sqrt{\frac{5}{x+4}}+2\right)}\right]=0\)

Cái ngoặc to nhìn liếc qua cũng thấy nó < 0.

Do đó \(x=-\frac{11}{4}\)

P/s: Về cơ bản hướng làm là vậy, khi là sẽ có thể có những sai sót, do em bị hư máy tính cầm tay:v. Đang rất GP đây này@@

\(\text{~tth~}\)

Bình luận (0)
tthnew
7 tháng 9 2019 lúc 9:59

2b)(ko chắc nha, nhưng cứ muốn làm:V)

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{y}{2x+1}=\frac{\sqrt{2x+1}+1}{\sqrt{y}+1}\left(1\right)\\4x^2+5=y^4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

ĐK:...

Đặt \(\sqrt{2x+1}=a>0;\sqrt{y}=b\ge0\)

(1) \(\Leftrightarrow\frac{b^2}{a^2}=\frac{a+1}{b+1}\Leftrightarrow a^3+a^2=b^3+b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+a+b\right)=0\)

+)Xét cái ngoặc phía sau: \(a^2+ab+b^2+a+b\)

\(=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+a+b\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=-\frac{b}{2};b^2=0;a=0;b=0\)

\(\Rightarrow x=-\frac{1}{2};y=0\). (KTM vì mẫu phân số khác 0 và đk của a:v)

+)Với a = b thì \(\sqrt{2x+1}=\sqrt{y}\Rightarrow y=2x+1\)

Thay vào pt dưới: \(4x^2+5=\left(2x+1\right)^2\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=3\)

Vậy x = 1; y =3

Bình luận (0)
tthnew
7 tháng 9 2019 lúc 14:52

2c)

HPT \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy+y^2-3=0\\3z^2+3yz+3=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\). Cộng theo vế 2 pt trên:

\(x^2-xy+y^2+3z^2+3yz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2.x.\frac{y}{2}+\frac{y^2}{4}\right)+3\left(z^2+yz+\frac{y^2}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+3\left(z+\frac{y}{2}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x=\frac{y}{2};z=-\frac{y}{2}\Rightarrow x=-z\). Thay vào pt thứ 2 của hệ thu được:

\(3.\left(-\frac{y}{2}\right)^2+3y\left(-\frac{y}{2}\right)+3=0\)

\(\Leftrightarrow3=\frac{3}{4}y^2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=-2\end{matrix}\right.\)

Với y = 2 suy ra \(x=1\Rightarrow z=-1\)

Với y = -2 suy ra \(x=-1\Rightarrow z=1\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left\{\left(1;2;-1\right),\left(-1;-2;1\right)\right\}\)

True?

Bình luận (2)
tthnew
7 tháng 9 2019 lúc 20:35

Em ko chắc đâu nhá!

Bài 1 b)

Sửa đề \(\sqrt[8]{1-x}+\sqrt[8]{1+x}+\sqrt[8]{1-x^2}=3\)

ĐK: \(-1\le x\le1\)

Áp dụng BĐT Cô si: \(\sqrt[8]{1-x}=\sqrt[8]{1.1.1.1.1.1.1.\left(1-x\right)}\) (có 7 chữ số 1 ở phía trước)

\(\le\frac{8-x}{8}=1-\frac{x}{8}\)

\(\sqrt[8]{1+x}=\sqrt[8]{1.1.1.1.1.1.1.\left(1+x\right)}\le\frac{8+x}{8}=1+\frac{x}{8}\)

Lại có: \(\sqrt[8]{\left(1-x^2\right)}=\sqrt[8]{\left(1-x\right)\left(1+x\right).1.1.1.1.1.1}\) (có 6 số 1 phía sau)

\(\le\frac{8+x-x}{8}=1\). Cộng theo vế 3 BĐT trên thu được \(VT\le3\).

Đẳng thức xảy ra khi \(1-x=1;1+x=1;1-x^2=1\Rightarrow x=0\)

Vậy...

P/s: bài này Cô si xong nhìn cảm thấy khiếp:(

Bình luận (24)
Nguyen
8 tháng 9 2019 lúc 9:26

Bài 1:

a)ĐK:\(x>-3\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\sqrt{\frac{1}{x+3}}\le\frac{\frac{4x+13}{2\left(x+3\right)}}{4}=\frac{4x+13}{4\left(x+3\right)}\)

\(\sqrt{\frac{5}{x+4}}\le\frac{\frac{4x+14}{2\left(x+4\right)}}{2}=\frac{4x+14}{4\left(x+4\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{4x+13}{4\left(x+3\right)}+\frac{4x+14}{4\left(x+4\right)}\)\(=2+\frac{1}{4x+12}-\frac{1}{2x+8}\)

Ta cần c/m:\(\frac{1}{4x+12}-\frac{1}{2x+8}\le1\)

\(\Rightarrow\frac{2x+4}{\left(4x+12\right)\left(2x+8\right)}+1\ge0\)

Dễ thấy mẫu >0.

\(\Rightarrow2x+4+8\left(x+3\right)\left(x+2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow8x^2+42x+52\ge0\)

\(x\in\)(\(-\infty;\frac{-13}{4}\)]\(\cup\)[-2;\(+\infty\))

So sánh với đk ta thấy tm.

Dấu = xra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x+3}=4\\\frac{5}{x+4}=4\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=\frac{-11}{2}\)

Vậy ...

#Walker

Bình luận (7)
Ngô Bá Hùng
7 tháng 9 2019 lúc 20:05

:( Bây giờ mới xem thì hết phần rồi

Bình luận (9)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Thanh Trúc
Xem chi tiết
王一博
Xem chi tiết
Ko Cần Bt
Xem chi tiết
Vũ Uyên Nhi
Xem chi tiết
Eren
Xem chi tiết
illumina
Xem chi tiết
Hoàng Nguyễn Huy
Xem chi tiết
Vũ
Xem chi tiết
Thái Viết Nam
Xem chi tiết