cho đường tròn ( O; R) đường kính AB. Lấy C là một điểm nằm giữa O và B. Vẽ đường tròn ( I) đường kính BC. Gọi M là trung điểm của AC, qua M kẻ đường vuông góc AB cắt đường tròn (O) lần lượt tại D, E.
a) Chứng minh tứ giác ADCE là hình thoi.
b) Nối BD cắt đường tròn (I) tại K. Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng.
c) Chứng minh MK là tiếp tuyến của đường tròn (I) .
d) Chứng minh \(MK^2=MC.MB\)
Lời giải:
a)
Xét tam giác $ODE$ cân tại $O$ (do $OD=OE=R$) nên đường cao $OM$ đồng thời là đường trung tuyến. Do đó $M$ là trung điểm của $DE$.
\(DE\perp AB, C\in AB\Rightarrow DE\perp AC\)
Xét tứ giác $ADCE$ có 2 đường chéo $AC, DE$ vuông góc và cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường nên $ADCE$ là hình thoi (đpcm)
b) Vì $ADCE$ là hình thoi nên $CE\parallel AD(1)$
Lại có:
$\widehat{CKB}=90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I))
$\widehat{ADB}=90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
Do đó $\widehat{CKB}=\widehat{ADB}$. Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên $CK\parallel AD(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow C,K,E$ thẳng hàng
c)
Xét tứ giác $DMCK$ có $\widehat{DMC}+\widehat{CKD}=\widehat{DMC}+180^0-\widehat{CKB}=90^0+180^0-90^0=180^0$ nên tứ giác $DMCK$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{CKM}=\widehat{CDM}=\widehat{ADM}$ (theo tính chất hình thang $ADCE$)
\(=90^0-\widehat{DAM}=90^0-\widehat{DAB}=\widehat{CBK}\)
Do đó $MK$ là tiếp tuyến $(I)$
d)
Xét tam giác $MKC$ và $MBK$ có:
$\widehat{M}$ chung
$\widehat{MKC}=\widehat{MBK}$ (cmt)
$\Rightarrow \triangle MKC\sim \triangle MBK(g.g)$
$\Rightarrow \frac{MK}{MB}=\frac{MC}{MK}\Rightarrow MK^2=MB.MC$ (đpcm)
