Violympic toán 9

Phạm Thị Thùy Linh

Cho a,b,c là 3 số thỏa mãn \(a+b+c=a^3+b^3+c^3=1\)

Tính \(M=a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}\)

✿✿❑ĐạT̐®ŋɢย❐✿✿
2 tháng 9 2019 lúc 11:47

Ta thấy : \(a+b+c=1\Rightarrow a,b,c< 1\)

Lại có : \(a+b+c=a^3+b^3+c^3\)

\(\Rightarrow a+b+c-a^3-b^3-c^3=0\)

\(\Rightarrow a.\left(1-a^2\right)+b.\left(1-b^2\right)+c.\left(1-c^2\right)=0\) (*)

Do : \(a,b,c< 1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-a^2>0\\1-b^2>0\\1-c^2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.\left(1-a^2\right)\ge0\\b.\left(1-b^2\right)\ge0\\c.\left(1-c^2\right)\ge0\end{matrix}\right.\) mà (*) nên ta có :\(\left\{{}\begin{matrix}a.\left(1-a^2\right)=0\\b.\left(1-b^2\right)=0\\c.\left(1-c^2\right)=0\end{matrix}\right.\)

Theo bài có \(a+b+c=a^3+b^3+c^3\)

nên : \(\left(a,b,c\right)\in\left\{\left(1,0,0\right),\left(0,1,0\right),\left(0,0,1\right)\right\}\)

Trong cả ba trường hợp trên thì \(M=1\)

Vậy : \(M=1\) với \(a,b,c\) thỏa mãn đề.

Bình luận (1)

Các câu hỏi tương tự
Hoàng Tuấn Hùng
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Lê Thanh Nhàn
Xem chi tiết
Phạm Minh Quang
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Bảo Trân
Xem chi tiết
Dương Thanh Ngân
Xem chi tiết
nguyen thi minh ngoc
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết