Question

Tìm cực trị của hàm số

Z=e^{--(x^2+y^2)}

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(Z'_x=-2xe^{-x^2-y^2}; Z'_y=-2ye^{-x^2-y^2}\)

\(Z''_x=4x^2e^{-x^2-y^2}; Z''_y=4y^2e^{-x^2-y^2}; Z''_{xy}=Z''_{yx}=4xye^{-x^2-y^2}\)

Điểm dừng của hàm số xác định tại

\(\left\{\begin{matrix} Z'_x=0\\ Z'_y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=0\)

Tại $(x=0; y=0)$:

$A=Z''_x=0; C=Z''_y=0; B=Z''_{xy}=Z''_{yx}=0$

$\Rightarrow \Delta=B^2-AC=0$

Với \(m,n\) lân cận bất kỳ và có ít nhất 1 số khác $0$ thấy:

\(Z(m,n)=\frac{1}{e^{m^2+n^2}}\leq \frac{1}{e^{0^2+0^2}}=Z(0,0)\)

Do đó $(x,y)=(0,0)$ là điểm cực đại