Question

1, Cho x>0 . Tìm \(Min_A=\frac{3x^4+16}{x^3}\)

2, Tìm \(Max_A=\frac{4x+25}{x-1}\left(x>1\right)\)

3, Cho 0<x<2 . Tìm \(Min_A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}\)

4, Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z=9 . Tìm \(Max_A=xy+yz+zx\)

Answer 1

1. \(A=\frac{3x^4+16}{x^3}=3x+\frac{16}{x^3}=x+x+x+\frac{16}{x^3}\)

\(\ge4\sqrt[4]{x\cdot x\cdot x\cdot\frac{16}{x^3}}=4\cdot2=8\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{16}{x^3}\Leftrightarrow x=2\)

Vậy Min A = 8 \(\Leftrightarrow x=2\)

Answer 2

3. \(A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2-x}{x}+1\)

\(\ge2\sqrt{\frac{9x}{2-x}\cdot\frac{2-x}{x}}+1=2\cdot3+1=7\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\frac{9x}{2-x}=\frac{2-x}{x}\Leftrightarrow3x=2-x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy Min A = 7 \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Answer 3

Bài 2:
\(\frac{4x+25}{x-1}=\frac{4(x-1)+29}{x-1}=4+\frac{29}{x-1}\)

Để $A$ max thì $\frac{29}{x-1}$ max. Với điều kiện $x>1$ không đủ cơ sở để tìm max.

Bài 3:

\(A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}=\frac{9(x-2)+18}{2-x}+\frac{2}{x}=-9+\frac{18}{2-x}+\frac{2}{x}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{18}{2-x}+\frac{2}{x}\geq \frac{(\sqrt{18}+\sqrt{2})^2}{2-x+x}=16\)

\(\Rightarrow A=-9+\frac{18}{2-x}+\frac{2}{x}\geq 7\Rightarrow A_{\min}=7\)

Dấu "=" xảy ra khi $x=\frac{1}{2}$

Answer 4

Bài 4:

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(x^2+y^2\geq 2xy; y^2+z^2\geq 2yz; z^2+x^2\geq 2xz\)

Cộng theo vế và rút gọn:

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow (x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\)

\(\Leftrightarrow 9^2\geq 3A\Rightarrow A\leq 27\)

Vậy $A_{\max}=27$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=3$