Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

Vũ Anh Quân

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:

\(GA^2+GB^2+GC^2=\frac{1}{3}\left(AB^2+BC^2+CA^2\right)\)

Trần Quốc Lộc
24 tháng 8 2019 lúc 9:59

\(3\left(\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GB}^2+\overrightarrow{GC}^2\right)\\ =\left(\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GB}^2\right)+\left(\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GC}^2\right)+\left(\overrightarrow{GB}^2+\overrightarrow{GC}^2\right)+\left(\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GB}^2+\overrightarrow{GC}^2\right)\)

\(\text{Ta có }:\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GB}^2\\ =\overrightarrow{GA}^2-2\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}^2-2\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}\\ =\left(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA}\right)^2+2\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AB}^2+2\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}\\ Tương\text{ }tự:\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GC}^2=\overrightarrow{CA}^2+2\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GC}\\ \overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GC}^2=\overrightarrow{BC}^2+2\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}\)

\(\Rightarrow3\left(\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GB}^2+\overrightarrow{GC}^2\right)\\ =\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{BC}^2+\overrightarrow{CA}^2+\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GB}^2+\overrightarrow{GC}^2+2\left(\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GC}\right)\\ =\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{BC}^2+\overrightarrow{CA}^2+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)^2\\ =\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{CA}^2+\overrightarrow{BC}^2\\ \Rightarrow\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GB}^2+\overrightarrow{GC}^2=\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{CA}^2+\overrightarrow{BC}^2\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Kuramajiva
Xem chi tiết
Nguyễn Tấn An
Xem chi tiết
Quách Minh Hương
Xem chi tiết
Mộc Miên
Xem chi tiết
Võ Thu Uyên
Xem chi tiết
Phương Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thanh Mai
Xem chi tiết
Kim Taengoo
Xem chi tiết
Yến Channel
Xem chi tiết