Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC, đường cao AH(H thuộc BC). Trên tia HC, lấy D sao cho HD=HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

a) Chứng minh tam giác ABE vuông cân

b) Cho M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:

\(\frac{GB}{GC}=\frac{DH}{AH+CH}\)

Answer 1

a) + ΔADH vuông cân tại H

\(\Rightarrow\widehat{ADH}=45^o\Rightarrow\widehat{ADC}=135^o\)

+ ΔABC ∼ ΔDEC ( g.g )

\(\Rightarrow\frac{CD}{AC}=\frac{CE}{BC}\)

+ ΔACD ∼ ΔBCE ( c.g.c )

\(\Rightarrow\widehat{BEC}=\widehat{ADC}=135^o\Rightarrow\widehat{AEB}=45^o\)

=> ΔABE vuông cân tại A

b) Sửa đề : \(\frac{GB}{BC}=\frac{DH}{AH+CH}\)

+ ΔABC ∼ ΔHAC ( g.g )

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{HA}{HC}\)

+ ΔABE cân tại A, đg trung tuyến AM

=> AM là đg phân giác của ΔABE

+ ΔABC, đg phân giác AG

\(\Rightarrow\frac{GB}{GC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow\frac{GB}{GC}=\frac{HA}{HC}\)

\(\Rightarrow\frac{GB}{GB+GC}=\frac{HA}{HA+HC}\Rightarrow\frac{GB}{BC}=\frac{HD}{AH+HC}\)