Violympic toán 8

Phan Tiến Nhật

Cho x,y là các số dương: Chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

svtkvtm
20 tháng 8 2019 lúc 16:08

theo cô- si ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}=\frac{2}{\sqrt{xy}};x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\frac{x+y}{2}}=\frac{4}{x+y}\Rightarrow dpcm\)

Bình luận (0)
Phan Tiến Nhật
20 tháng 8 2019 lúc 16:07

*) \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) (1)

*) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}}\) (2)

Nhân (1), (2) với nhau, ta có:

\(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(đpcm)

Dành cho những bạn cần !!!

Bình luận (0)
zZz Cool Kid zZz
21 tháng 8 2019 lúc 19:22

Biến đổi tương đương là OKi

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
đẹp trai thì mới có nhiề...
Xem chi tiết
Trần Bảo Hân
Xem chi tiết
Đăng Đinh Chí
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh
Xem chi tiết
Hoàng Thị Mai Trang
Xem chi tiết
Hoàng Thị Mai Trang
Xem chi tiết
Lunox Butterfly Seraphim
Xem chi tiết
Qynh Nqa
Xem chi tiết
trung
Xem chi tiết