ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{a}{c}\) (1)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}\)
áp dụng tính chất của dãy TSBN ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\) (2)
từ (1), (2) \(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\) (vì cùng bằng \(\frac{a^2}{b^2}\))
Có: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{b}{c}\right)^2\rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)(1)
\(\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{a}{c}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\)
Ta có:
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}.\)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{a}{c}.\)
Mà \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\).
=> \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
