Question

Cho x + y +z =1 với điều kiện \(x,y,z\ge0\)

C/m \(x+2y+z\ge4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)

Answer 1

Lời giải:

Vì $x+y+z=1$ và $x,y,z\geq 0$ nên $1-x,1-y,1-z\geq 0$

Ta sử dụng BĐT Cauchy quen thuộc \(ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\) kết hợp với điều kiện $x+y+z=1$ thì có:

\(4(1-x)(1-y)(1-z)=[4(1-x)(1-z)](1-y)\)

\(\leq (1-x+1-z)^2(1-y)=(1+y)^2(1-y)=(1-y^2)(1+y)\leq 1(1+y)\) (do $y^2\geq 0\rightarrow 1-y^2\leq 1$)

hay \(4(1-x)(1-y)(1-z)\leq x+y+z+y=x+2y+z\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $y=0; x=z=0,5$