Lời giải:
\(B=x^2-xy+y^2=x^2-2.x.\frac{y}{2}+(\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2\)
\(=(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2\)
Ta thấy \((x-\frac{y}{2})^2\geq 0; y^2\geq 0, \forall x,y\in\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow B\geq 0, \forall x,y\in\mathbb{R}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x-\frac{y}{2}=y=0\Leftrightarrow x=y=0\) (loại vì theo đề bài thì $x,y$ không thể cùng đồng thời bằng $0$)
Do đó dấu "=" không xảy ra, hay $B>0$, tức $B$ luôn dương.
Em có cách khác! Cô Akai Haruma check giúp em ạ!
\(B=\frac{2x^2-2xy+2y^2}{2}=\frac{\left(x-y\right)^2+\left(x^2+y^2\right)}{2}\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x=0\\y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=0\)
Nhưng dấu bằng không xảy ra khi nên ta có đpcm.
Cách 3:(ko chắc, nếu tiện thì check giúp em luôn ạ: Akai Haruma)
Với x, y đồng dấu (cùng không âm hoặc cùng âm) thì có đpcm.
Với x, y trái dấu, đặt y = -k.x (k > 0)
Khi đó \(B=x^2+kx^2+kx^2=\left(2k+1\right)x^2>0\)(đpcm)
