\(6\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+x^2+y^2+z^2\)
Đặt \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}>0\) thì:
\(t^2+\sqrt{3}t-6\ge0\)\(\Leftrightarrow t\ge\sqrt{3}\left(\text{do t>0 nên loại th kia }\right)\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3^{\left(đpcm\right)}\)
Đúng ko ta?
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
Cộng theo vế ta được :
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(1)
Mặt khác ta cũng có BĐT quen thuộc :
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(2)
Lấy (1) cộng (2) ta được :
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
\(x^2+y^2+z^2=\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}y^2+\frac{1}{3}z^2+\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)\\ =\frac{1}{3}\left(x^2+1\right)+\frac{1}{3}\left(y^2+1\right)+\frac{1}{3}\left(z^2+1\right)+\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)-1\\ \ge\frac{1}{3}\cdot2x+\frac{1}{3}\cdot2y+\frac{1}{3}\cdot2z+\frac{2}{3}\left(xy+xz+yz\right)-1\\ =\frac{2}{3}\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)-1\\ =\frac{2}{3}\cdot6-1=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
