Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Thu Hien Tran

Chứng minh \(\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}\)là một số nguyên

Trần Thanh Phương
17 tháng 8 2019 lúc 6:23

Đặt \(P=\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}\)

\(P^3=1+\frac{\sqrt{84}}{9}+1-\frac{\sqrt{84}}{9}+3\sqrt[3]{\left(1+\frac{\sqrt{84}}{9}\right)\left(1-\frac{\sqrt{84}}{9}\right)}\cdot P\)

\(P^3=2+3\sqrt[3]{1-\frac{84}{81}}\cdot P\)

\(P^3=2+3\sqrt[3]{\frac{-1}{27}}\cdot P\)

\(P^3=2+3\cdot\frac{-1}{3}\cdot P\)

\(P^3=2-P\)

\(\Leftrightarrow P^3+P-2=0\)

\(\Leftrightarrow P^3-P^2+P^2-P+2P-2=0\)

\(\Leftrightarrow P^2\left(P-1\right)+P\left(P-1\right)+2\left(P-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(P-1\right)\left(P^2+P+2\right)=0\)

Do \(P^2+P+2>0\forall P\)

Do đó \(P-1=0\Leftrightarrow P=1\)

Vậy \(P=1\) là một số nguyên ( đpcm )

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
KHUÊ VŨ
Xem chi tiết
Dương Hải
Xem chi tiết
Shinichi Kudo
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mỹ Lệ
Xem chi tiết
Đào Ngọc Quý
Xem chi tiết
Hà Lê
Xem chi tiết
Trúc Giang
Xem chi tiết
Ly Ly
Xem chi tiết
Nhi Lê Nguyễn Bảo
Xem chi tiết