Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Thu Hien Tran

Chứng minh \(\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}\)là một số nguyên

Trần Thanh Phương
17 tháng 8 2019 lúc 6:23

Đặt \(P=\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}\)

\(P^3=1+\frac{\sqrt{84}}{9}+1-\frac{\sqrt{84}}{9}+3\sqrt[3]{\left(1+\frac{\sqrt{84}}{9}\right)\left(1-\frac{\sqrt{84}}{9}\right)}\cdot P\)

\(P^3=2+3\sqrt[3]{1-\frac{84}{81}}\cdot P\)

\(P^3=2+3\sqrt[3]{\frac{-1}{27}}\cdot P\)

\(P^3=2+3\cdot\frac{-1}{3}\cdot P\)

\(P^3=2-P\)

\(\Leftrightarrow P^3+P-2=0\)

\(\Leftrightarrow P^3-P^2+P^2-P+2P-2=0\)

\(\Leftrightarrow P^2\left(P-1\right)+P\left(P-1\right)+2\left(P-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(P-1\right)\left(P^2+P+2\right)=0\)

Do \(P^2+P+2>0\forall P\)

Do đó \(P-1=0\Leftrightarrow P=1\)

Vậy \(P=1\) là một số nguyên ( đpcm )

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Đào Ngọc Quý

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN