§1. Bất đẳng thức

dbrby

cho x,y,z > 0. Cmr: \(\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4}\le\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\)

The Neil
16 tháng 8 2019 lúc 22:46

\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}=\frac{x^2}{x^6}+\frac{1}{y^4}\ge\frac{\left(x+1\right)^2}{x^6+y^4}\ge\frac{4x}{x^6+y^4}\)

tương tự

\(\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\ge\frac{4y}{y^6+z^4}\);

\(\frac{1}{z^4}+\frac{1}{x^4}\ge\frac{4z}{z^6+x^4}\);

cộng vế với vế => đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1

Bình luận (0)
Nguyễn Trần Hoàng
16 tháng 8 2019 lúc 21:02

Cô si

Bình luận (0)
Lê Anh Duy
10 tháng 2 2020 lúc 12:19

Cách khác:

\(x^6+y^4\ge2\sqrt{x^6y^4}=2x^3y^2\)

\(\Rightarrow\frac{2}{x^6+y^4}\le\frac{1}{x^2y^2}\)

CMTT , ta có VT \(\le\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{z^2x^2}\)

Bổ đề: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) ( luôn đúng)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{z^2x^2}\le\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\)

ĐPCM

Dấu " =" xảy ra khi x=y=z=1

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Yến Hoàng
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Nguyễn Duy Linh
Xem chi tiết
Phạm Dương Ngọc Nhi
Xem chi tiết
Vũ Thị Thu Hằng
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Dương
Xem chi tiết
Oh Nguyễn
Xem chi tiết
Yến Hoàng
Xem chi tiết
Thiều Khánh Vi
Xem chi tiết