Ôn tập phương trình bậc hai một ẩn

Nguyễn Bùi Đại Hiệp

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện : \(a+b+c=\frac{1}{abc}\)

CMR:\(\sqrt{\frac{\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)}{c^2+a^2b^2c^2}}=a+b\)

Trần Thanh Phương
12 tháng 8 2019 lúc 18:32

\(a+b+c=\frac{1}{abc}\)

\(\Leftrightarrow abc\left(a+b+c\right)=1\)(*)

\(\Leftrightarrow a^2bc+ab^2c+abc^2=1\)

Ta có :

\(1+b^2c^2=a^2bc+ab^2c+abc^2+b^2c^2\)

\(=abc\left(a+b\right)+bc^2\left(a+b\right)\)

\(=bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

Tương tự ta cũng có \(1+a^2c^2=ac\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)

Khi đó : \(\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)=abc^2\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)(1)

Xét \(c^2+a^2b^2c^2\)

\(=a^2b^2c^2+\frac{abc^3}{abc}\)

\(=a^2b^2c^2+abc^3\left(a+b+c\right)\)( theo giả thiết )

\(=a^2b^2c^2+a^2bc^3+ab^2c^3+abc^4\)

\(=abc^2\left(ab+bc+ca+c^2\right)\)

\(=abc^2\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra :

\(\sqrt{\frac{\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)}{c^2+a^2b^2c^2}}=\sqrt{\frac{abc^2\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{abc^2\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\)

\(=\sqrt{\left(a+b\right)^2}=\left|a+b\right|=a+b\)( vì \(a,b\in Z^+\) )

Ta có đpcm.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Wanna One
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
trần thị hương
Xem chi tiết
tuan anh le
Xem chi tiết
DTD2006ok
Xem chi tiết
Đinh Doãn Nam
Xem chi tiết
Đinh Doãn Nam
Xem chi tiết
Đinh Doãn Nam
Xem chi tiết