§1. Bất đẳng thức

khánh khang zen

1.Cho a,b là các số thực thỏa mãn (1+a)(1+b)=\(\frac{9}{4}\)

Tìm GTNN của \(A=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\)

2. Tìm max A=\(\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\) với x>=1; y>=2; z>=3

Trần Thanh Phương Akai Haruma giúp mk vs

Trần Thanh Phương
9 tháng 8 2019 lúc 18:53

Xí câu dễ trước, câu 1 chắc lại phải nhờ chị Akai Haruma :)

2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

+) \(\sqrt{1\cdot\left(x-1\right)}\le\frac{1+x-1}{2}=\frac{x}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\)

+) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2\left(y-2\right)}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2+y-2}{2}=\frac{y}{2\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y-2}\le\frac{y}{2\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{y-2}}{y}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\)

+) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3\left(z-3\right)}\le\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{3+z-3}{2}=\frac{z}{2\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{z-3}\le\frac{z}{2\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{z-3}}{z}\le\frac{1}{2\sqrt{3}}\)

Cộng theo vế của 3 bđt :

\(\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow A\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\\z=6\end{matrix}\right.\)

Bình luận (2)
Nguyen
9 tháng 8 2019 lúc 20:14

Câu 1 đương nhiên dễ với Nguyên Pro này :)))

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\sqrt{1+a^4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(1+a^4\right)}\)\(\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+a^2\right)\)\(\ge\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}\left(1+a\right)^2\)\(=\frac{\sqrt{2}}{4}\left(1+a\right)^2\)

Ttự, c/m:\(\sqrt{1+b^4}\ge\frac{\sqrt{2}}{4}\left(1+b\right)^2\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{\sqrt{2}}{4}\left[\left(1+a\right)^2+\left(1+b\right)^2\right]\)

Đến đây tự làm nốt nhé!

#Walker

Bình luận (8)
 Mashiro Shiina
9 tháng 8 2019 lúc 20:33

Xin sol cả 2 câu ăn cơm xog full

Bình luận (8)
Trần Thanh Phương
9 tháng 8 2019 lúc 20:42

1. Ta xét bất đẳng thức sau :

\(\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\ge\sqrt{4+\left(a^2+b^2\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow1+a^4+1+b^4+2\sqrt{\left(1+a^4\right)\left(1+b^2\right)}\ge4+\left(a^2+b^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+2+2\sqrt{\left(1+a^4\right)\left(1+b^4\right)}\ge4+a^4+b^4+2a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(1+a^4\right)\left(1+b^4\right)}\ge2+2a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(1+a^4\right)\left(1+b^4\right)}\ge1+a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(1+a^4\right)\left(1+b^4\right)\ge\left(a^2b^2+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+a^4b^4+1\ge a^4b^4+2a^2b^2+1\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Khi đó ta có : \(A\ge\sqrt{4+\left(a^2+b^2\right)^2}\)(1)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

\(a^2+b^2\ge2ab;2\left(a^2+\frac{1}{4}\right)\ge2a;2\left(b^2+\frac{1}{4}\right)\ge2b\)

Cộng theo vế 3 bđt :

\(a^2+b^2+2a^2+\frac{1}{2}+2b^2+\frac{1}{2}\ge2a+2b+2ab\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+1\ge2\left(a+b+ab\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2\right)\ge2\left(a+b+ab\right)-1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{2\left(a+b+ab\right)-1}{3}\)(*)

Theo giả thiết : \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow a+b+ab+1=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow a+b+ab=\frac{5}{4}\)

Thay vào (*) ta được : \(a^2+b^2\ge\frac{2\cdot\frac{5}{4}-1}{3}=\frac{1}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có :

\(A\ge\sqrt{4+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Ổn chưa nào :")

Bình luận (5)
tthnew
9 tháng 8 2019 lúc 20:48

Em thử bài 1 nhá:)

1. \(A\ge\sqrt{4+\left(a^2+b^2\right)^2}\)

Mặt khác từ giả thiết có ngay: \(\frac{\left(a+1+b+1\right)^2}{4}\ge\left(1+a\right)\left(1+b\right)=\frac{9}{4}\Rightarrow a+1+b+1\ge3\Rightarrow a+b\ge1\)

Suy ra \(A\ge\sqrt{4+\left(a^2+b^2\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{4+\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)

ĐẲng thức xảy ra khi a = b = 1/2

Bình luận (1)
zZz Cool Kid zZz
21 tháng 6 2020 lúc 23:45

Câu 1 chuyên Hà Tĩnh, câu 2 chuyên sư phạm nhé

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Thiều Khánh Vi
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Anhh Thưư
Xem chi tiết
poppy Trang
Xem chi tiết
Lightning Farron
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
Cuộc Sống Thầm Lặng
Xem chi tiết
 ๖ۣۜDevil
Xem chi tiết
Nguyen Kim Chi
Xem chi tiết