Violympic toán 9

bach nhac lam

1. \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\abc=1\end{matrix}\right.\) Cmr: \(\frac{1+a+b+c}{2}\ge\sqrt{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\)

2. \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=abc\end{matrix}\right.\) Tìm Min \(A=\frac{b-2}{a^2}+\frac{c-2}{b^2}+\frac{a-2}{c^2}\)

@Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma, @Vũ Huy Hoàng, @Nguyễn Thị Diễm Quỳnh, @Luân Đào giúp mk vs!

Akai Haruma
7 tháng 8 2019 lúc 0:20

Riêng đối với bài số 2. Mình nghĩ điều kiện là $a,b,c>1$ . Tất nhiên điều kiện $a,b,c>0$ thì bài toán không sai, nhưng chặt hơn và khó hơn. Với đk $a,b,c>1$ thì đây là 1 bài toán đã rất quen thuộc với những ai ôn thi HSG toán 9. Lời giải của nó cũng sơ cấp và đẹp hơn nhiều.

Tất nhiên mình vẫn làm theo đề bài trên. Nếu bạn cần, mình cũng sẽ trình bày lời giải bài kia (trong điều kiện có t/g)

\(a+b+c=abc\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=1\)

Đặt $(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c})=(x,y,z)$ thì bài toán trở thành:

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+xz=1$. Tìm min $A=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-2(x^2+y^2+z^2)$

----------------------------

Ta có:

\(A=(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x})(xy+yz+xz)-2(x^2+y^2+z^2)\)

\(=x^3+y^3+z^3+xy^2+yz^2+zx^2+\frac{xy^3}{z}+\frac{yz^3}{x}+\frac{zx^3}{y}-2(x^2+y^2+z^2)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{xy^3}{z}+\frac{yz^3}{x}+\frac{zx^3}{y}=\frac{x^2y^4+y^2z^4+z^2x^4}{xyz}=\frac{(x^2y^4+x^4z^2)+(y^2z^4+y^4x^2)+(z^2x^4+y^2z^4)}{2xyz}\geq \frac{2x^3y^2z+2xy^3z^2+2x^2yz^3}{2xyz}=x^2y+y^2z+z^2x\)

Do đó:

\(A\geq x^3+y^3+z^3+xy^2+y^2z+z^2x+x^2y+y^2z+z^2x-2(x^2+y^2+z^2)\)

\(A\geq (x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-2(x^2+y^2+z^2)\)

\(A\geq (x+y+z)[(x+y+z)^2-2]-2[(x+y+z)^2-2]\)

\(A\geq (x+y+z)^3-2(x+y+z)-2(x+y+z)^2+4\)

Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow A\geq t^3-2t-2t^2+4\)

Áp dụng AM-GM: \(t=x+y+z\geq \sqrt{3(xy+yz+xz)}=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow t^3-2t-2t^2+4=(t-\sqrt{3})(t^2+\sqrt{3}t-2t+1-2\sqrt{3})+\sqrt{3}-2\geq \sqrt{3}-2\)

(do $t-\sqrt{3}\geq 0$ và \(t^2+\sqrt{3}t-2t+1-2\sqrt{3}\geq 2\sqrt{3}t-2t+1-2\sqrt{3}\geq (2\sqrt{3}-2)\sqrt{3}+1-2\sqrt{3}>0\))

$\Rightarrow A\geq t^3-2t-2t^2+4\geq \sqrt{3}-2$

Vậy $A_{\min}=\sqrt{3}-2$

Bình luận (1)
Akai Haruma
5 tháng 8 2019 lúc 22:58

Bài 1:
Kết hợp đk $abc=1$, BĐT cần chứng minh tương đương với:

\((1+a+b+c)^2\geq 4(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)

\(\Leftrightarrow 1+a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)+2(a+b+c)\geq 4(1+ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c\geq 3+2ab+2bc+2ac(*)\)

Theo nguyên lý Di-rich-let thì trong 3 số $a,b,c$ luôn tồn tại ít nhất 2 số cùng phía so với $1$

Không mất tổng quát giả sử đó là $a,b$

Khi đó: \((a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b\Rightarrow 1+c\geq ac+bc\)

\(\Rightarrow 2+2c\geq 2ac+2bc(1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^2+b^2\geq 2ab(2)\)

\(c^2+2a+2b=c^2+a+a+b+b\geq 5\sqrt[5]{c^2a^2b^2}=5(3)\)

Lấy $(1)+(2)+(3)$ rồi rút gọn ta thu được $(*)$ . Do đó BĐT ban đầu đúng. Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bình luận (0)
Akai Haruma
6 tháng 8 2019 lúc 23:53

Lời giải khác bài 1, chợt nhớ ra là mình làm hơi dài dòng:
Vì $abc=1$ nên chắc chắn tồn tại hai số nằm khác phía so với $1$. Giả sử đó là $a,b$. Khi đó:

\((a-1)(b-1)\leq 0\Leftrightarrow a+b\geq ab+1\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a+b+c+1}{2}=\frac{(a+b)+(c+1)}{2}\geq \sqrt{(a+b)(c+1)}=\sqrt{ac+bc+a+b}\geq \sqrt{ac+bc+ab+1}\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$


Bình luận (1)
Akai Haruma
7 tháng 8 2019 lúc 23:24

bach nhac lam: Trong điều kiện $a,b,c>1$ ta làm như sau:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(A=\frac{b-2}{a^2}+\frac{c-2}{b^2}+\frac{a-2}{c^2}=\frac{b-2+a}{a^2}+\frac{c-2+b}{b^2}+\frac{a-2+c}{c^2}-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=\frac{(b-1)+(a-1)}{a^2}+\frac{(c-1)+(b-1)}{b^2}+\frac{(a-1)+(c-1)}{c^2}-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=(a-1)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\right)+(b-1)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+(c-1)\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\geq \frac{2(a-1)}{ac}+\frac{2(b-1)}{ab}+\frac{2(c-1)}{bc}-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{2(a+b+c)}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-2\)

Mà cũng theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{\sqrt{(ab+bc+ac)^2}}{abc}\geq \frac{\sqrt{3abc(a+b+c)}}{abc}=\frac{\sqrt{3abc.abc}}{abc}=\sqrt{3}\)

Do đó \(A\geq \sqrt{3}-2=A_{\min}\)

Bình luận (1)

Các câu hỏi tương tự
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
nguyễn minh
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết