Question

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: \(a+b+c=3\) và \(a^2+b^2+c^2=5\).

\(A=(\frac{a}{a^2+2}+\frac{b}{b^2+2}+\frac{c}{c^2+2})\sqrt{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}\)

Answer 1

Lời giải:
\(\left\{\begin{matrix} a+b+c=3\\ a^2+b^2+c^2=5\end{matrix}\right.\Rightarrow ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{3^2-5}{2}=2\)

Do đó:
\(a^2+2=a^2+ab+bc+ac=(a+b)(a+c)\)

Hoàn toàn TT: \(b^2+2=(b+c)(b+a); c^2+2=(c+a)(c+b)\)

Suy ra:
\(A=\left[\frac{a}{(a+b)(a+c)}+\frac{b}{(b+c)(b+a)}+\frac{c}{(c+a)(c+b)}\right](a+b)(b+c)(c+a)\)

\(=a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=2(ab+bc+ac)=2.2=4\)