Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

dbrby

Cho \(x\ge1,y\ge1\)

Cmr: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)

Akai Haruma
31 tháng 7 2019 lúc 16:15

Lời giải:

Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow \frac{y^2+1+x^2+1}{(x^2+1)(y^2+1)}\geq \frac{2}{xy+1}\)

\(\Leftrightarrow (xy+1)(x^2+y^2+2)\geq 2(x^2+1)(y^2+1)\)

\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2)+2xy+x^2+y^2+2\geq 2x^2y^2+2x^2+2y^2+2\)

\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2)+2xy-2x^2y^2-x^2-y^2\geq 0\)

\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2-2xy)-(x^2-2xy+y^2)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow xy(x-y)^2-(x-y)^2\geq 0\leftrightarrow (xy-1)(x-y)^2\geq 0\)

BĐT trên luôn đúng với mọi $x\geq 1, y\geq 1$. Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $xy=1$ hoặc $x=y\geq 1$

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
dbrby
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Linh
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Phương Anh
Xem chi tiết
Phương Anh
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Nguyễn Thành Trung
Xem chi tiết
ank viet
Xem chi tiết
hoàng quốc sơn
Xem chi tiết