Question

chứng minh

a+b+\(\frac{1}{2}\) >= \(\sqrt{a}\) +\(\sqrt{b}\)

Answer 1

Lời giải:

Điều kiện $a,b$ là các số không âm

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:

\(a+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{a.\frac{1}{4}}=\sqrt{a}\)

\(b+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{b.\frac{1}{4}}=\sqrt{b}\)

Cộng theo vế:
\(\Rightarrow a+b+\frac{1}{2}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{4}$

Answer 2

Hoặc bạn cũng có thể làm như sau:

Xét hiệu:

\(a+b+\frac{1}{2}-(\sqrt{a}+\sqrt{b})=(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4})+(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4})\)

\(=(\sqrt{a}-\frac{1}{2})^2+(\sqrt{b}-\frac{1}{2})^2\geq 0\)

\(\Rightarrow a+b+\frac{1}{2}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{a}-\frac{1}{2}=\sqrt{b}-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4}\)