Bài 6: Ôn tập chương Tổ hợp - Xác suất

Đặng Ngọc

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b-c}\)+\(\frac{1}{b+c-a}\)+\(\frac{1}{c+a-b}\)\(\ge\)\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)

Trần Thanh Phương
28 tháng 7 2019 lúc 15:03

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si liên tục 2 lần ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b-c\right)+\left(b+c-a\right)}{2}}=\frac{2}{\frac{2b}{2}}=\frac{2}{b}\)

Chứng minh tương tự ta cũng có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a};\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)

Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :

\(2\cdot\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Hay ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác ABC đều

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Đặng Ngọc
Xem chi tiết
Tú Trần
Xem chi tiết
๖ۣۜMavis❤๖ۣۜZeref
Xem chi tiết
Tran minh Hieu
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Anh Le
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Thao Nhi Nguyen
Xem chi tiết