Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

dbrby

cho a,b,c>0 và a+b+c=3

Tìm GTNN của \(A=\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\)

bach nhac lam
26 tháng 7 2019 lúc 15:37

\(A=\frac{a\left(a+b^2\right)-ab^2}{a+b^2}+\frac{b\left(b+c^2\right)-bc^2}{b+c^2}+\frac{c\left(c+a^2\right)-ca^2}{c+a^2}\)

\(A=a+b+c-\left(\frac{ab^2}{a+b^2}+\frac{bc^2}{b+c^2}+\frac{ca^2}{c+a^2}\right)\)

\(A\ge3-\left(\frac{ab^2}{2\sqrt{ab^2}}+\frac{bc^2}{2\sqrt{bc^2}}+\frac{ca^2}{2\sqrt{ca^2}}\right)\)

\(A\ge3-\frac{1}{2}\left(\sqrt{a}.b+\sqrt{b}.c+\sqrt{c}.a\right)\)

\(A\ge3-\frac{1}{2}\left(\frac{b\left(a+1\right)}{2}+\frac{c\left(b+1\right)}{2}+\frac{a\left(c+1\right)}{2}\right)\)

\(A\ge3-\frac{1}{4}\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)

\(A\ge3-\frac{1}{4}\left(3+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right)\) \(=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Min \(A=\frac{3}{2}\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
dbrby
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Lê Thị Ngọc Duyên
Xem chi tiết
ank viet
Xem chi tiết
ank viet
Xem chi tiết
Bùi Mạnh Dũng
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Ngà
Xem chi tiết