Question

cho x,y,z>0 và xyz=1. Cmr: \(\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\ge\frac{3}{2}\)

Answer 1

Em thử nha, ko chắc đâu;( em thấy nó giống giống lời giải một bài toán nào đó trên tạp chí toán tuổi thơ mà em đã đọc qua lúc trước: chỗ khúc cuối xét \(t_1>t_2\ge3\) ấy ạ. Nên bắt chước lại chỗ đó. tạm thời em chưa nghĩ ra lời nào khác.

Từ đề bài ta có \(1=xyz\le\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}\Rightarrow t=x+y+z\ge3\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:

\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{t^2}{t+3}\). Cần chứng minh \(\frac{t^2}{t+3}\ge\frac{3}{2}\left(t\ge3\right)\Leftrightarrow f\left(t\right)=2t^2-3t-9\ge0\) (1)

Xét \(t_1>t_2\ge3\). Khi đó \(f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)=2\left(t_1^2-t_2^2\right)-3\left(t_1-t_2\right)\)

\(=2\left(t_1-t_2\right)\left(t_1+t_2\right)-3\left(t_1-t_2\right)\)

\(=\left(t_1-t_2\right)\left(2t_1+2t_2-3\right)>\left(t_1-t_2\right)\left(2.3+2.3-3\right)=9\left(t_1-t_2\right)>0\) (do \(t_1>t_2\ge3\))

Do đó khi t tăng thì hàm số f(t) tăng, tương tự t giảm thì f(t) giảm với \(t\ge3\). Do đó f(t) đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 3.

Khi đó f(t) = 0. Do đó (1) đúng hay ta có đpcm.

Answer 2

A hay là cách này ấy nhỉ? Cách này thì chắc ăn hơn cách kia.(chỗ chứng minh f(t) >=0 với t>=3)

Cần chứng minh \(f\left(t\right)=2t^2-3t-9\ge0\)

\(\Leftrightarrow2t^2-6t+3t-9\ge0\) (Tách -3t thành -6t + 3t)

\(\Leftrightarrow2t\left(t-3\right)+3\left(t-3\right)=\left(2t+3\right)\left(t-3\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi \(t\ge3\))

Do đó f(t) \(\ge0\). Hay ta có đpcm.

Answer 3

Quên nữa! Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1 :v

Answer 4

Có cách này hay lắm:

\(\frac{x^2}{1+y}+\frac{1+y}{4}\ge x\) (Cô si)

Tương tự hai BĐt còn lại và cộng theo vế suy ra:

\(VT\ge x+y+z-\frac{x+y+z+3}{4}=\frac{3\left(x+y+z\right)-3}{4}\ge\frac{9\sqrt{xyz}-3}{4}=\frac{9-3}{4}=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y =z = 1 (cái này dễ, em làm tắt nhá)

Answer 5

Áp dụng cosi cho 3 số \(\dfrac{x^2}{1+y}; \dfrac{y^2}{1+z}; \dfrac{z^2}{1+x}\) ta có:
\(\dfrac{x^2}{1+y} + \dfrac{y^2}{1+z} + \dfrac{z^2}{1+x} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{x^2}.{y^2}.{z^2}}}{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 + z} \right)}}}} = 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {z + 1} \right)}}}} \)
Có \(xyz=1\) nên:
\(x\le1\Leftrightarrow x+1\le2\Leftrightarrow \dfrac{1}{x+1}\ge\dfrac{1}{2}\)

Tương tự:
\( \dfrac{1}{{y + 1}} \ge \dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{{z + 1}} \ge \dfrac{1}{2} \)
Nên: \(3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 + z} \right)}}}} \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {\dfrac{{\dfrac{1}{1}}}{2}} \right)}^3}}} = \dfrac{3}{2} \)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)