Chương I - Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Công chúa vui vẻ

Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ trung điểm I của AC, kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại D. CMR: BD2 – CD2 = AB2.

Nguyễn Thành Trương
19 tháng 7 2019 lúc 19:59

Từ I dựng đường thẳng vuông góc với AC và cắt BC tại E. Mà AB cũng vuông góc với AC => \(IE//AB\) => IE là đường trung bình của tam giác ABC => \(AB=2.IE \)\(EB=EC=\dfrac{BC}{2}\)

=> \(AB^2=4.IE^2\)

Xét tam giác vuông EIC có :

\(IE^2=ED.EC\) (Bình phương 1 cạnh góc vuông = tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow AB^2=4.IE^2=4.ED.EC\) (1)

Ta có \(EC=\dfrac{BC}{2}\) và \(ED=EC-CD=\dfrac{BC}{2}-CD\) Thay vào (1) ta có:

\(AB^2=4.\left(\dfrac{BC}{2}-CD\right).\dfrac{BC}{2}=4.\left(\dfrac{BC^2}{4}-\frac{CD.BC}{2}\right)\)

\(AB^2=BC^2-2.CD.BC\) (2)

Mà \(BC=BD+CD\) Thay vào (2)

\(\Rightarrow AB^2=\left(BD+CD\right)^2-2.CD.\left(BD+CD\right)=BD^2+CD^2+2.BD.CD-2.BD.CD-2.CD^2\)

\(\Rightarrow AB^2=BD^2-CD^2\) (đpcm)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
ABC123
Xem chi tiết
Trang Nguyễn
Xem chi tiết
Zombie dz DJ
Xem chi tiết
Hoàng long Phan Đình
Xem chi tiết
nguyễn công huy
Xem chi tiết
Kiều Lê
Xem chi tiết
Annie Nguyễn
Xem chi tiết
nguyễn phương ngọc
Xem chi tiết
Ng Quacwe
Xem chi tiết
Hà Trường Quân 7.2
Xem chi tiết