Question

Cho Parabol (P): \(y=\frac{x^2}{3}\) và đường thẳng (d) đi qua M(1; 12) với hệ số góc k. Tìm k biết đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm \(A\left(x_1;y_1\right)\), \(B\left(x_2;y_2\right)\) thỏa mãn \(\frac{y_2}{x_1}+\frac{y_1}{x_2}\)

Answer 1

Gọi ptđt (d) có dạng: y= kx+b

Vì M(1;12)\(\in\) (d)

Thay x_M= 1; y_M= 12 vào (d)

\(k+b=12\Rightarrow b=12-k\)

Xét PTHĐGĐ của (d) và (P)

\(\frac{x^2}{3}=kx+b\Leftrightarrow x^2-3kx-3b=0\)

\(\Delta=9k^2+12b=9k^2-12k+144>0\forall x\)

\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Vi-ét:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3k\\x_1x_2=-3b=-3\left(12-k\right)=3k-36\end{matrix}\right.\)

Có \(\frac{y_2}{x_1}+\frac{y_1}{x_2}=\frac{\left(kx_2+b\right)x_2+\left(kx_1+b\right)x_1}{x_1x_2}=\frac{k\left(x_1+x_2\right)^2-2kx_1x_2+b\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}\)

Đến đây gần xong rùi, bạn thay hệ thức Vi-ét vào rùi giải là OK