a) Với mọi x nguyên , ta có :
A nguyên <=> x-9 ⋮ 3x+4 => 3(x-9) ⋮ 3x+4
Mà : 3x+4 ⋮ 3x+4
Xét hiệu :
3x +4 - 3(x - 9) ⋮ 3x+4
3x + 4 - 3x + 27 ⋮ 3x+4
=>31 ⋮ 3x + 4
Vì : x nguyên => 3x + 4 nguyên
=> 3x + 4 ∈ Ư(31)
Ta có bảng :
| 3x + 4 | 1 | 31 | -1 | -31 |
| x | -1 | 9 | X(x∉Z) | X(x∉Z) |
| Thử lại | -10 ⋮ 1(tmdk) | 0 ⋮ 31(tmdk) | X | X |
b) Gọi d là ước nguyên tố của (x - 9 , 3x + 4)
=> x - 9 ⋮ d => 3(x-9) ⋮ d
=> 3x + 4 ⋮ d
Xét hiệu :
3x + 4 - 3(x - 9) ⋮ d
=> 3x + 4 - 3x + 27 ⋮ d
=> 31 ⋮ d
Vì d là ước nguyên tố của (x - 9 , 3x + 4) => d nguyên dương
=>d ∈ Ư(31) => d ∈ {1;31}
Giả sử d = 31:
=>3x + 4 ⋮ 31 => 10(3x + 4) ⋮ 31 => 30x + 40 ⋮ 31
=> 31x + 31 - (x -9) ⋮ 31
Vì : 31x + 31 ⋮ 31 ∀ x nguyên
=> x - 9 ⋮ 31
=> x = 31k + 9 (k nguyên)
=> Vậy để d ≠ 31 thì x ≠ 31k + 9 (x , k nguyên)
=> \(\frac{x-9}{3x+4}\)tối giản <=> x ≠ 31k + 9 (x,k nguyên)
*Còn phần thử lại nha
