Violympic toán 9

Núi non tình yêu thuần k...

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, M là điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA và AB.

a, CMR: \(AK^2+BH^2+CI^2=AI^2+CH^2+BK^2\)

b, Tìm vị trí của M sao cho tổng \(AK^2+BH^2+CI^2\)đạt GTNN.

Hoàng Thị Ánh Phương
25 tháng 2 2020 lúc 17:23

A B C K I M H

a ) Áp dụng đinh lí Pytago vào các tam giác vuông ta được :
\(AK^2+BH^2+CI^2=AM^2-MK^2+BM^2-MH^2+CM^2-MI^2\)

\(=\left(AM^2-MI^2\right)+\left(BM^2-MK^2\right)+\left(CM^2-MH^2\right)\)

\(=AI^2+BK^2+CH^2\)

b ) Đặt \(B=AK^2+BH^2+CI^2\)

\(\Rightarrow2B=\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)+\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)\)

\(=\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)+\left(AI^2+CH^2+BK^2\right)\)

\(=\left(AK^2+BK^2\right)+\left(BH^2+HC^2\right)+\left(CI^2+IA^2\right)\)

Ta có BĐT sau : \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)( tự chứng minh )

Áp dụng ta được : \(2B\ge\frac{\left(AK+BK\right)^2}{2}+\frac{\left(BH+HC\right)^2}{2}+\frac{\left(CI+IA\right)^2}{2}\)

\(=\frac{AB^2}{2}+\frac{BC^2}{2}+\frac{CA^2}{2}=\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}\)

\(\Rightarrow B\ge\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{4}\) không đổi

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow M\) là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC

Chúc bạn học tốt !!

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN