Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Mai Vân Anh

cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AH,kẻ HE vuông góc với AB tại E,HF vuông góc với AC tại F

a)chứng minh \(AH^2=HE^2=BH.HC.FA.FC\)

b)chứng minh \(\frac{EB}{FC}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^3\)

c)chứng minh \(AH^3=BC.BE.CF\)

Akai Haruma
20 tháng 6 2019 lúc 17:24

Lời giải:

a) Đề sai. Bạn xem lại đề.

b)

Xét tam giác $BEH$ và $BHA$ có:

\(\widehat{B}\) chung

\(\widehat{BEH}=\widehat{BHA}(=90^0)\)

\(\Rightarrow \triangle BEH\sim \triangle BHA(g.g)\Rightarrow \frac{BE}{BH}=\frac{BH}{BA}\Rightarrow BE=\frac{BH^2}{BA}(1)\)

Tương tự: \(\triangle CFH\sim \triangle CHA(g.g)\Rightarrow \frac{CF}{CH}=\frac{CH}{CA}\Rightarrow CF=\frac{CH^2}{CA}(2)\)

Xét tam giác $BHA$ và $BAC$ có:

\(\widehat{B}\) chung

\(\widehat{BHA}=\widehat{BAC}(=90^0)\)

\(\Rightarrow \triangle BHA\sim \triangle BAC(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}(3)\)

Tương tự: \(\triangle CHA\sim \triangle CAB(g.g)\Rightarrow \frac{CH}{CA}=\frac{CA}{CB}(4)\)

Từ \((3);(4)\Rightarrow \frac{BH}{CH}=\left(\frac{BA}{CA}\right)^2(5)\)

Từ \((1);(2);(5)\Rightarrow \frac{EB}{CF}=(\frac{BH}{CH})^2.\frac{AC}{AB}=(\frac{BA}{CA})^4.\frac{AC}{AB}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^3\)

c)

Xét tam giác $BHA$ và $AHC$ có:

\(\widehat{BHA}=\widehat{AHC}=90^0\)

\(\widehat{HBA}=\widehat{HAC}(=90^0-\widehat{BAH})\)

\(\Rightarrow \triangle BHA\sim \triangle AHC(g.g)\Rightarrow \frac{BH}{HA}=\frac{AH}{HC}\Rightarrow AH^2=BH.CH\)

Do đó, kết hợp với các kết quả thu được từ phần b ta có:

\(BC.BE.CF=BC.\frac{BH^2}{BA}.\frac{CH^2}{CA}=BC.\frac{(BH.CH)^2}{AB.AC}=BC.\frac{AH^4}{AB.AC}\)

\(=\frac{BC.AH}{AB.AC}.AH^3=\frac{2S_{ABC}}{2S_{ABC}}.AH^3=AH^3\)

Ta có đpcm.

Bình luận (0)
Akai Haruma
20 tháng 6 2019 lúc 17:29

Hình vẽ:

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bình luận (0)
Akai Haruma
18 tháng 6 2019 lúc 11:49

Hình vẽ:
Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bình luận (0)
Mai Vân Anh
21 tháng 6 2019 lúc 16:32

Câu a là Ah^2 ×HE^2 mình nhầm

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Oanh Nguyễn Hoàng
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hiền
Xem chi tiết
Hạt dẻ cười
Xem chi tiết
Nhật Linh Đặng
Xem chi tiết
Nguyễn Xuân Mai
Xem chi tiết
nguyễn hương mây
Xem chi tiết
Quỳnh Xuân
Xem chi tiết
Bành Bảo Hiền
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Linh
Xem chi tiết