Question

Cho hai điểm P(1;6) và Q(-3;-4) và đường thẳng △: 2x-y-1=0. Tìm tọa độ điểm N thuộc △ sao cho \(\left|NP-NQ\right|\) lớn nhất.

Answer 1

Thay tọa độ P và Q vào phương trình d ta thấy ra hai kết quả cùng dấu, vậy P và Q nằm cùng phía so với d

Áp dụng BĐT tam giác cho tam giác NPQ, ta có

\(\left|NP-NQ\right|\le PQ\Rightarrow\left|NP-NQ\right|_{max}=PQ\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi N, P, Q thẳng hàng hay N là giao điểm của đường thẳng PQ và d

\(\overrightarrow{PQ}=\left(4;10\right)=2\left(2;5\right)\Rightarrow\) đường thẳng PQ nhận \(\overrightarrow{n}=\left(5;-2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình PQ:

\(5\left(x-1\right)-2\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow5x-2y+7=0\)

Tọa độ N là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}5x-2y+7=0\\2x-y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(-9;-19\right)\)