Question

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), đường cao AH. Trên Ac lấy điểm D sao cho AB = AD. Từ D kẻ DE vuông góc với BC.

a/ Chứng minh: HA = HE

b/ Gọi O là trung điểm BD. Cm: HO là phân giác góc AHC

Answer 1

a) Kẻ DI ⊥ AH \(\left(I\in AH\right)\)

+ Tứ giác DEHI là hình chữ nhật

=> DI = HE

+ \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{DAI}+\widehat{BAH}=90^o\\\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{DAI}=\widehat{ABH}\)

+ ΔADI = ΔBAH ( cạnh huyền-góc nhọn )

=> DI = AH => AH = HE

b) + ΔABD vuông tại A có đg trung tuyến AO

=> \(AO=\frac{1}{2}BD\) ( theo tính chất đg trung tuyến trog Δ vuông )

+ Tương tự ta cm đc : \(EO=\frac{1}{2}BD\Rightarrow AO=EO\)

+ ΔAHO = ΔEHO ( c.c.c )

\(\Rightarrow\widehat{AHO}=\widehat{EHO}\)

=> đpcm

Answer 2

a,Ta có : AH\(\perp\)BC(gt)

DE\(\perp\)BC(gt)

\(\Rightarrow\)AH//DE

Xét \(\Delta AHCcó:\)

AH//DE , E\(\in HC,D\in AC\)

\(\Rightarrow\frac{HE}{HC}=\frac{AD}{AC}\)(định lí Ta-lét )

\(\Rightarrow\)\(\frac{HE}{AD}=\frac{HC}{AC}\)(1)

Xét \(\Delta ABH\sim\Delta CAH\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AH}{CH}\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{CH}{AC}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra : \(\frac{HE}{AD}=\frac{AH}{AB}\)

mà AD=AB (gt)

\(\Rightarrow HE=HA\)