Bài 1:Cho tứ giác ABCD có góc A= góc C= 90 độ, tia phân giác góc B cắt cạnh CD ở E, tia phân giác của góc D cắt cạnh AB ở F. Chứng minh rằng BE//DF.
Bài 2:Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD. Biết rằng AC=AD. Chứng minh rằng BC < BD.
Bài 3:Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi và nhỏ hơn chu vi của tứ giác.
Câu 3:
Giả sử tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác :
\(\left\{{}\begin{matrix}OA+OB>AB\\OB+OC>BC\\OC+OD>CD\\OD+OA>DA\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CD+DA\)
\(\Rightarrow OA+OB+OC+OD>\frac{1}{2}ChuviABCD\)
\(\Rightarrow AC+BD>\frac{1}{2}ChuviABCD\) (1)
Có OA + OB + OC + OD = AC + BD
Theo bất đẳng thức tam giác có
AC < AB + BC ; AC < AD + DC
\(\Rightarrow\) 2 AC < Chu vi ABCD
BD < AB + AD ; BD < BC + CD
\(\Rightarrow\) 2 BD < chu vi ABCD
\(\Rightarrow\) 2 (BD + AC ) < 2 chu vi ABCD
\(\Rightarrow\) BD + CA < 2 chu vi ABCD (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
