Question

tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để \(A=1^2+2^2+...+n^2\left(n>1\right)\) là số chính phương

Answer 1

Lời giải:

Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ:

\((1+1)^3=1^3+3.1^2.1+3.1.1+1\)

\((2+1)^3=2^3+3.2^2.1+3.2.1+1\)

\((3+1)^3=3^3+3.3^2.1+3.3.1+1\)

............

\((n+1)^3=n^3+3n^2.1+3n.1+1\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow 2^3+3^3+...+(n+1)^3=(1^3+2^3+...+n^3)+3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+....+n)+n\)

\(\Leftrightarrow (n+1)^3-1-\frac{3n(n+1)}{2}-n=3(1^2+2^2+...+n^2)\)

\(\Leftrightarrow \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=1^2+2^2+...+n^2\)

Cho $n$ chạy từ $2$ trở đi ta thấy số $n$ nhỏ nhất để $1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ là số chính phương là $n=24$