Question

giúp mk với :(

Answer 1

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương \(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\), ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\)⇔ ab + bc + ca ≥ 3

Quy đồng mẫu của BĐT cần chứng minh, ta được:

\(\left(2+a\right)\left(2+b\right)+\left(2+b\right)\left(2+c\right)+\left(2+c\right)\left(2+a\right)\le\left(2+a\right)\left(2+b\right)\left(2+c\right)\)

Khai triển và rút gọn, ta được:

\(ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12\le abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8\)

⇔ \(ab+bc+ca\ge3\) Luôn đúng (Chứng minh trên)

Vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = 1