Cho hàm số y = \(-\frac{1}{2}x^2\) có đồ thị (P) và (d): y = \(\left(m-1\right)x-m-3\) (với m là tham số).
a) Vẽ (P).
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B có hoàn độ tương ứng \(x_{A_{ }},x_B\) sao cho biểu thức Q = \(x^2_A+x^2_B\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu a : Bạn tự vẽ nha !
Câu b : Phương trình hoành độ của (P) với (d) là :
\(-\frac{1}{2}x^2=\left(m-1\right)x-\left(m+3\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+2\left(m-1\right)x-2\left(m+3\right)=0\)
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+2\left(m+3\right)=m^2+7>0\)
Vì \(\Delta'>0\) nên (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A và B .
Theo hệ thức vi-et ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2-2m\\x_1x_2=-2m-6\end{matrix}\right.\)
\(Q=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(2-2m\right)^2-2\left(-2m-6\right)\)
\(=4m^2-8m+4+4m+12\)
\(=\left(2m-1\right)^2+15\)
Vậy GTNN của Q là 15 khi \(m=\frac{1}{2}\)
