Đây là tổng hợp 1 số câu khó mà mình tìm được trong quá trình giải đề, nhưng vì khó nên các bạn bày mình với >.<!!
Câu 1: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\)
Câu 2: Cho các số x, y dương thỏa mãn điều kiện \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x+y\)
Câu 3: Cho hàm số \(y=\frac{x^2+2}{x+2}\). Tìm tất cả các giá trị x nguyên để y nguyên.
Câu 4:
1) Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện \(a+2b+5c=0\). Chứng minh phương trình \(ax^2+bx+c=0\)có nghiệm.
2) Giải phương trình \(\left(4x^3-x+3\right)^3=x^3:\frac{3}{2}\)
Câu 1:
Ta có:
\(\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}=\sqrt{\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(4a^2+4ab+b^2\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2}\ge\sqrt{\left(2a+b\right)^2}=2a+b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Tương tự ta được:
\(P\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}+\frac{2}{c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Mà ta có bất đẳng thức phụ:
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Leftrightarrow1=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\)(gt)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le3\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Câu 3:\(y=\frac{\left(x+2\right)^2-4x-2}{x+2}=x+2-\frac{4x+2}{x+2}\)\(=x+2-\frac{4x+8-6}{x+2}=x-2+\frac{6}{x+2}\)\(\Rightarrow x+2\inƯ\left(6\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm3;\pm6\right\}\)
\(\Rightarrow x\in\left\{-8;-5;-4;-3;-1;0;1;4\right\}\)
Câu 2:*\(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-1-x^2}{x-\sqrt{1+x^2}}\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)
\(\Rightarrow-y-\sqrt{1+y^2}=2018x-2018\sqrt{1+x^2}\)
*\(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).\frac{-1}{y-\sqrt{1+y^2}}=2018\)
\(\Rightarrow-x-\sqrt{1+x^2}=2018y-2018\sqrt{1+y^2}\)
Đến đây cộng lại.
