Question

Với a,b,c là số thực dương:

Với ab+2bc+2ac=7

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{11a+11b+12c}{\sqrt{8a^2+56}+\sqrt{8b^2+56}+\sqrt{4c^2+7}}\)

Answer 1

\(\sqrt{8a^2+56}=\sqrt{8\left(a^2+7\right)}=\sqrt{8\left(a^2+ab+2bc+2ac\right)}\)\(=\sqrt{8\left(a+b\right)\left(a+2c\right)}=\sqrt{4\left(a+b\right).2\left(a+2c\right)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm:

\(\sqrt{8a^2+56}=\sqrt{4\left(a+b\right).2\left(a+2c\right)}\le\frac{4\left(a+b\right)+2\left(a+2c\right)}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{8a^2+56}\)\(\le3a+2b+2c\)

Tương tự:

\(\sqrt{8b^2+56}\le2a+3b+2c\),\(\sqrt{4c^2+7}=\sqrt{\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}\le\frac{a+b+4c}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{8a^2+56}+\sqrt{8b^2+56}+\sqrt{4c^2+7}\le\frac{11a+11b+12c}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{11a+11b+12c}{\frac{11a+11b+12c}{2}}=2\)

\(''=''\Leftrightarrow a=b=\frac{2c}{3}=1\)