Lời giải:
a)
Ta thấy \(\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow BD\perp AC,CE\perp AB\)
Mà $BD,CE$ giao nhau tại $H$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$
\(\Rightarrow AH\perp BC\) hay $AI\perp BC$
Từ $AI\perp BC,BD\perp AC, CE\perp AB$:
Xét tứ giác $ADHE$ có tổng 2 góc đối nhau \(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\) nên $ADHE$ là tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác $ADIB$ có \(\widehat{ADB}=\widehat{AIB}(=90^0)\) và 2 góc này cùng nhìn cạnh $AB$ nên $ADIB$ là tứ giác nội tiếp.
b)
Vì $ADIB$ là tứ giác nội tiếp nên \(CD.CA=CI.CB(1)\)
Hoàn toàn tương tự như $ADIB$ thì $AEIC$ cũng là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow BE.BA=BI.BC(2)\)
Lấy \((1)+(2)\Rightarrow CD.CA+BE.BA=CI.CB+BI.BC=BC(CI+BI)=BC^2\)
Ta có đpcm.
c)
Gọi $H',U$ lần lượt là giao của $MN$ và $AI,AO$
Ta có: \(\widehat{H'IO}=\widehat{AIO}=90^0(3)\)
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau: \(AM=AN, OM=ON\Rightarrow AO\) là trung trực của $MN$. Do đó \(AO\perp MN\) tại $U$
\(\Rightarrow \widehat{H'UO}=90^0(4)\)
Từ \((3);(4)\Rightarrow H'UOI\) là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow AH'.AI=AU.AO(5)\)
$AN$ là tiếp tuyến $(O)$ \(\Rightarrow AN\perp NO\) hay tam giác $ANO$ vuông tại $N$
Xét tam giác $ANO$ vuông tại $N$, có đường cao $NU$, sử dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(AU.AO=AN^2(6)\)
Xét tam giác $AND$ và $ACN$ có:
\(\widehat{A}\) chung; \(\widehat{AND}=\widehat{ACN}\) (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
\(\Rightarrow \triangle AND\sim \triangle ACN\Rightarrow \frac{AN}{AC}=\frac{AD}{AN}\Rightarrow AN^2=AC.AD(7)\)
Tương tự $ADHE$, ta cũng có $CIHD$ là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow AD.AC=AH.AI(8)\)
Từ \((5);(6);(7);(8)\Rightarrow AH'.AI=AH.AI\Rightarrow H\equiv H'\)
Do đó $M,H,N$ thẳng hàng (đpcm)
