Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi M là một điểm bất kì thuộc (O) (MA<MB), qua B vẽ đường thẳng d vuông góc với AB, tiếp tuyến tại M cắt d tại N và cắt AB tại K, AM cắt d tại E, OM cắt d tại H. Gọi F là điểm đối xứng với E qua B.
a. Tứ giác OAMN hình gì? Vì sao?
b. Chứng minh HK//MB.
c. Chứng minh bốn điểm A, H, K, F thuộc một đường tròn.
Lời giải:
a)
Vì $NB$ vuông góc với $OB$ nên $NB$ là tiếp tuyến của $(O)$
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau $(NB,NM)$ thì $NM=NB$. Mà $OM=OB(=R)$. Do đó $ON$ là trung trực của $MB$
\(\Rightarrow NO\perp MB(1)\)
Mặt khác: \(\widehat{AMB}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow AM\perp MB(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow NO\parallel AM\Rightarrow OAMN\) là hình thang.
b)
\(MN\perp OM\Rightarrow NK\perp HM\Rightarrow \widehat{KMH}=90^0\)
\(AB\perp d\Rightarrow KB\perp BH\Rightarrow \widehat{KBH}=90^0\)
Từ 2 điều trên suy ra tứ giác $KMBH$ nội tiếp
\(\Rightarrow \widehat{HKB}=\widehat{HMB}=\widehat{OMB}\). Mà \(\widehat{OMB}=\widehat{OBM}\) (do tam giác OMB cân tại O)
\(\Rightarrow \widehat{HKB}=\widehat{OBM}\). Hai góc này ở vị trí so le trong nên $HK\parallel MB$
c)
Từ phần b \(HK\parallel MB\Rightarrow \widehat{KHB}=\widehat{MBN}\) (đồng vị)
\(\widehat{MBN}=\widehat{NOB}(=90^0-\widehat{OBM})\)
\(\Rightarrow \widehat{KHB}=\widehat{NOB}\)
Xét tam giác $KHB$ và $NOB$ có:
\(\widehat{KHB}=\widehat{NOB}\) (cmt)
\(\widehat{KBH}=\widehat{NBO}=90^0\)
\(\Rightarrow \triangle KHB\sim \triangle NOB(g.g)\Rightarrow \frac{KB}{HB}=\frac{NB}{OB}(1)\)
Theo phần a, $AM\parallel ON$ hay $ON\parallel AE$. Áp dụng định lý Ta-let: \(\frac{BN}{BE}=\frac{OB}{BA}\Rightarrow \frac{NB}{OB}=\frac{BE}{BA}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{KB}{HB}=\frac{BE}{BA}\Rightarrow BA.BK=BH.BE=BH.BF\) (BE=BF do tính đối xứng)
\(\Rightarrow AKFH\) là tgnt hay $A,K,F,H$ thuộc 1 đường tròn.
