Question

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(x^2+y^2+x^2=2\)

Tìm max của A=\(A=\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{z^2+x^2}+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)

Answer 1

Trước hết\(,\,\)theo một hệ quả quen thuộc của AM-GM:

\(4=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\therefore xyz(x+y+z) \leq \frac{4}{3}\)

Vì vậy: \(A\ge\frac{18}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2xyz\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{2}+\frac{4}{\frac{8}{3}}=6\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}\)