Question

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB>AC). Đường cao BE, CF cắt nhau tại H. EF cắt BC tại K, KA cắt đường tròn tâm O tại M. I là trung điểm BC. Chứng minh:

a. Tứ giác BCEF nội tiếp

b. KM. KA=KE.KF từ đó suy ra tứ giác AMEF nội tiếp.

c. H, I, M thẳng hàng

Answer 1

a) Xét tứ giác BCEF có
Góc BFC= Góc BEC = 90 độ ( CF,BE là đường cao của tam giác ABC)
=> Hai điểm F,E cùng thuộc đường tròn đường kính BC
=> 4 điểm B,E,F,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
=> Tứ giác BCEF nội tiếp
b) Dùng phương tích chứng minh KM.KA=KB.KC (tam giác đồng dạng là ra)
Từ đó ta chứng minh tam giác KBF đồng dạng với tam giác KEC ( g-g)
=> KB.KC=KE.KF
Bắc cầu t chứng minh được KM.KA=KE.KF
Có được tỉ này ta sẽ chứng minh được tam giác KMF đồng dạng với tam giác KEA (c-g-c)
=> góc KFM = góc KAE
Xét tứ giác AMFE có góc KFM= góc KAE (cmt)
=> Tứ giác AMFE nội tiếp