Lời giải:
Gọi $D$ là giao điểm $AA_1$ và $BC$.
Xét tam giác $AA_1C$ và $CA_1D$ có:
\(\widehat{A_1}\) chung
\(\widehat{A_1AC}=\widehat{A_1AB}=\widehat{A_1CD}\) (tính chất phân giác và góc nội tiếp chắn cùng một cung)
\(\Rightarrow \triangle AA_1C\sim \triangle CA_1D(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AA_1}{CA_1}=\frac{AC}{CD}(1)\)
Hoàn toàn tương tự: \(\triangle AA_1B\sim \triangle BA_1D(g.g)\Rightarrow \frac{AA_1}{BA_1}=\frac{AB}{BD}(2)\)
\((1);(2)\Rightarrow \frac{CA_1+BA_1}{AA_1}=\frac{CD}{AC}+\frac{BD}{AB}(3)\)
Theo tính chất đường phân giác: \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow BD=\frac{AB.BC}{AB+AC}\Rightarrow CD=BC-BD=\frac{AC.BC}{AB+AC}\)
Do đó: \(\frac{CD}{AC}+\frac{BD}{AB}=\frac{2BC}{AB+AC}(4)\)
Từ \((3);(4)\Rightarrow AA_1=\frac{(CA_1+BA_1)(AB+AC)}{2BC}\). Mà theo BĐT tam giác $CA_1+BA_1>BC$ nên \(AA_1>\frac{BC(AB+AC)}{2BC}=\frac{AB+AC}{2}\).
Hoàn toàn tương tự:
\(BB_1> \frac{BC+BA}{2}; CC_1> \frac{CA+CB}{2}\)
Suy ra \(AA_1+BB_1+CC_1> AB+BC+AC\) (Đpcm)
