Violympic toán 9

Ánh Dương Hoàng Vũ

Cho x,y>0 và 2x+3y \(\le\) 2.Tìm min của \(A=\frac{4}{4x^2+9y^2}+\frac{9}{xy}\)

 Mashiro Shiina
24 tháng 5 2019 lúc 13:34

\(A=\frac{4}{4x^2+9y^2}+\frac{9}{xy}=\frac{4}{4x^2+9y^2}+\frac{54}{6xy}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2x=a\\3y=b\end{matrix}\right.\Rightarrow A=\frac{4}{a^2+b^2}+\frac{54}{ab}\)

\(A=\frac{4}{a^2+b^2}+\frac{4}{2ab}+\frac{52}{ab}\)

\(A=4\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\frac{52}{ab}\)

\(\ge\frac{16}{\left(a+b\right)^2}+\frac{52}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\ge4+52=56\)

\("="\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow2x=3y\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Bình luận (2)
Nguyễn Việt Lâm
24 tháng 5 2019 lúc 13:38

\(A=\frac{4}{4x^2+9y^2}+\frac{4}{12xy}+\frac{52}{2x.3y}\ge\frac{16}{4x^2+9y^2+12xy}+\frac{52}{\frac{\left(2x+3y\right)^2}{4}}\)

\(A\ge\frac{16}{\left(2x+3y\right)^2}+\frac{208}{\left(2x+3y\right)^2}\ge\frac{16}{4}+\frac{208}{4}=56\)

\(\Rightarrow A_{min}=56\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nishimiya shouko
Xem chi tiết
Clgt
Xem chi tiết
Huy Phan Đình
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Huy Phan Đình
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Thiều Khánh Vi
Xem chi tiết
Đại Số Và Giải Tích
Xem chi tiết
Phương Dư Khả
Xem chi tiết